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- 发布时间：2026-04-02 19:18:37
排列组合a66=6×5×4×3×2×1=720。
类计数原理：做一件事，有nn类办法，在第11类办法中有m1m1种不同的方法，在第22类办法中有m2m2种不同的方法，…，在第nn类办法中有mnmn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mnN=m1+m2+…+mn种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成nn个步骤，做第11步有m1m1种不同的方法，做第22步有m2m2种不同的方法，…，做第nn步有mnmn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mnN=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题#
排列数#
从nn个不同元素种取出m(m≤n)m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从nn个不同元素种取出mm个元素的排列数，用符号AmnAnm表示。
排列数公式#
Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!，n，m∈N∗，并且m≤n
Anm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!，n，m∈N∗，并且m≤n
（规定0!=10!=1）
推导：把nn个不同的元素任选mm个排序，按计数原理分步进行：
取第一个：有nn种取法
取第二个：有(n−1)(n−1)种取法
取第三个：有(n−2)(n−2)种取法
……
取第mm个：有(n−m+1)(n−m+1)种取法
根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质#
Amn=nAm−1n−1Anm=nAn−1m−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1Anm=mAn−1m−1+An−1m 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1mAn−1m−1，不含特定元素的排列为Amn−1An−1m。
组合问题#
组合数#
从nn个不同元素种取出m(m≤n)m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从nn个不同元素种取出mm个元素的组合数，用符号CmnCnm表示。
组合数公式#
Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!，n，m∈N∗，并且m≤n
Cnm=AnmAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!，n，m∈N∗，并且m≤n
C0n=Cnn=1
Cn0=Cnn=1
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题AmnAnm分解为两个步骤：
第一步，就是从nn个球中抽mm个出来，先不排序，此即组合数问题CmnCnm
第二步，则是把这mm个被抽出来的球排序，即全排列AmmAmm。
根据乘法原理，Amn=CmnAmmAnm=CnmAmm，那么
Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!
